2. Les bulles de savon, un exemple d'application

Nous allons tout d'abord nous attarder sur la définition d'une bulle, sur la notion d'interface et de tension superficielle afin de voir comment agit la tension de surface sur la bulle. Dans ce chapitre, après avoir brièvement rappelé la principale fonction des tensioactifs, permettant de réduire la tension superficielle, nous nous focaliserons sur l'action de la tension superficielle sur la bulle. Dans la première partie, nous rappellerons des notions de base nécessaires à la compréhension du chapitre. Puis dans une deuxième partie, nous étudierons la formation des bulles d'eau savonneuse et le comportement des tensioactifs. Et enfin, dans une troisième partie, nous détaillerons l'explication concernant la forme sphérique de la bulle de savon.

2.1 Notions de base

Les premières études sur les bulles de savon datent de plus de trois siècles. Les principaux chercheurs sont Robert Hooke, Isaac Newton, et Gibbs. Une bulle est un globule de forme sphérique rempli d'un gaz qui se forme ou s'est formé dans une matière à l'état liquide [4].

Nous choisirons dans ce dossier de nous intéresser aux bulles de savon pour leur tension superficielle, leur élasticité et leur durée de vie. En effet, on sait qu'il est impossible de former avec de l'eau pure, une bulle dont la durée de vie est supérieure à une fraction de seconde.
Pour allonger la durée de vie d'une bulle, il faut réduire la valeur de sa tension superficielle. Des composés permettent de réduire la tension superficielle. Ces composés sont principalement des « agent de surface » aussi appelé « tensioactif » ou encore « surfactif ». On les retrouve dans les savons ou dans les liquides vaisselles.
C'est pourquoi nous nous intéressons ici seulement aux bulles de savon.

Fig 2.1 – Photographie de plusieurs films de savon enveloppant de l'air.

Un tensioactif est formé de molécule dite amphiphile. On distingue dans une molécule amphiphile, une partie dite polaire qui préfère se liée à l'eau appelée partie hydrophile, et une partie dite apolaire qui n'aime pas se liée à l'eau appelée partie hydrophobe. La partie hydrophobe est constituée d'une chaîne carbonée.

Fig. 2.2 – Représentation schématique d'une molécule amphiphile avec sa tête hydrophile et sa chaîne carbonée hydrophobe

Nous avons vu que la création d'une interface entre deux milieux est toujours accompagnée d'une consommation d'énergie. Une bulle de savon sépare deux milieux différents par une interface. La formation d'une bulle d'eau savonneuse consomme donc de l'énergie. Nous savons que l'énergie de surface est proportionnelle à l'aire de la surface. Une expérience (On prend crée un film de savon sur un cercle coupé par un fil non tendu de coton, l'éclatement d'une des deux parties du film réduit l'autre partie à sa surface minimale.) nous permet d'illustrer cette affirmation.

2.2 Formation d'une bulle de savon, organisation et utilité des tensioactifs

La bulle de savon est une sphère remplie d'air et délimitée par un film d'eau savonneuse. On sait que pour former une bulle de savon, il suffit de réaliser un film d'eau savonneuse de forme circulaire puis de souffler sur ce film pour agrandir sa surface et ainsi produire une bulle. Nous avons vu dans la partie précédente que les bulles de savon contiennent des tensioactifs, ces molécules qui réduisent la tension superficielle.

Le film de la bulle d'eau savonneuse est constitué d'une paroi d'eau, entourée par des tensioactifs, ou à une l'échelle moléculaire le film est constituée de molécules d'eau et de molécules amphiphiles. On sait que l'eau est chargé positivement et que les molécules amphiphiles sont polarisés. La tête hydrophile -attirée par l'eau-, se place donc contre la paroi d'eau. A l'inverse, la chaîne carbonée hydrophobe est au contraire repoussée par la paroi d'eau. La structure d'une bulle de savon donc ressemble à celle d'un sandwich : deux couches de molécules tensioactives enserrant l'eau [5 : Magazine Découverte N°332, novembre 2005].

Nous pouvons schématiser l'organisation des tensioactifs et des molécules d'eau dans une bulle de savon.

Fig 2.3 – Représentation schématique de l'agencement des molécules amphiphiles et des molécules d'eau dans une bulle d'eau savonneuse à l'échelle moléculaire

La particularité de cet agencement est qu'il permet d'assurer la stabilité de la paroi de la bulle.

Les tensioactifs permettent de stabiliser la structure de la bulle, mais la stabilisation est idéale seulement lorsque la quantité de tensioactifs a dépasser un seuil appelé concentration micellaire critique (abrégée CMC).

Une micelle est un regroupement de molécules amphiphiles. Les molécules amphiphiles forment un cercle dont le centre est l'extrémité de leur queue hydrophobe. Les têtes hydrophiles forment le contour du cercle.

La concentration micellaire critique est atteinte lorsque les tensioactifs ne peuvent plus se placer à la surface du liquide car la mono-couche de tensioactifs est déjà complète, et qu'ils commencent à s'organiser sous forme de micelle dans la solution aqueuse.

Fig 2.4 – Représentation schématique d'un récipient rempli de solution aqueuse dont la CMC a été dépassée

La formation d'une bulle d'une durée de vie supérieure à une fraction de seconde nécessite donc l'ajout en quantité suffisante (seuil de CMC) de tensioactifs. Sans les tensioactifs, la tension superficielle de l'eau serait élevée. Les tensioactifs stabilisent la structure circulaire des bulles de savon. Nous allons voir dans la partie suivante pourquoi les bulles de savon adoptent une forme circulaire.

2.3 La forme sphérique de la bulle

Nous avons vu que la formation d'une bulle consomme de l'énergie et que cette énergie tend à se minimiser le plus possible. On peut en déduire que lors de la formation d'une bulle de savon, sa surface tend aussi à se minimiser le plus possible.

Pour que l'énergie de surface dépensée lors de la formation de la bulle soit minimale, il faut que la surface de la bulle soit la plus réduite, mais il faut aussi que le volume de la bulle de savon ne soit pas trop petit pour pouvoir contenir l'air enfermé à l'intérieur.

On cherche donc le solide qui englobe le plus grand volume pour une surface donnée. Nous admettrons que la seule force en présence est la tension superficielle.
On choisit d'abord de se placer dans un réseau de dimension 2. (2D).

Fig. 2.5 – Représentation d'un polygone concave en bleu, et d'un polygone convexe en bleu et rose

Pour une meilleure lisibilité, nous noterons ici « Pg1 » le polygone concave représenté par la zone bleu, « Pg2 » le polygone convexe représenté par les zones remplies de bleu et de rose.

On observe sur la figure 2.4 que l'enveloppe convexe du polygone Pg1 est représentée par le polygone convexe Pg2.

L'aire du polygone Pg2 est strictement plus grande que l'aire du polygone Pg1 et le périmètre du polygone Pg2 est strictement plus petite que celle de Pg1. On réalise une dilatation du polygone Pg2 pour trouver un périmètre égal à celui du polygone Pg1. On finit donc par trouver un nouveau polygone « Pg3 » de périmètre égal au polygone Pg1 et d'aire supérieure au polygone Pg2 et Pg1. Le polygone concave Pg1 n'est donc la solution recherchée.

Ces remarques permettent d'affirmer qu'il suffit de chercher la solution dans les polygones convexe.

Fig. 2.6 – Représentation de plusieurs polygones réguliers de même périmètre mais d'aires différentes

Parmi les polygones convexes (fig. 2.5), nous choisissons de partir des trois triangles remarquables avec un périmètre égal : le triangle rectangle, le triangle isocèle et le triangle équilatéral. En reproduisant ces trois triangles sur un support de façon à ce qu'ils possèdent un périmètre égal, on peut en déduire par superposition que le triangle équilatéral possède la plus grande aire parmi les trois triangles. En comparant un carré et un triangle équilatéral de périmètre égal, on se rend compte aussi par la même méthode que le carré possède une aire plus grande que le triangle équilatéral.

Fig. 2.7 – Tableau de quelques polygones réguliers convexe

En effectuant le même raisonnement avec les polygones du tableaux (fig. 2.6), on peut en tirer une loi générale. Plus le nombre de côtés d'un polygone régulier convexe est grand, et plus l'aire formée par ce polygone sera grande. La solution est donc un polygone régulier convexe avec un nombre n de côté infini : soit un disque.

Historiquement, une légende grecque fait que l'on attribue ce théorème à Didon, fondatrice et reine de Carthage dans la mythologie grecque qui résolu un problème du même type pour avoir une aire de terrain la plus grande possible.

Dans un réseau de dimension 3, le problème n'est pas aussi simple que dans un domaine de dimension 2. Dans la dimension 2, on travaille sur un plan alors que sur un réseau à dimension 3, on travaille dans l'espace. On ne détaillera pas dans ce dossier la démonstration du théorème isopérimétrique de la dimension 3.

D'après le théorème isopérimétrique, c'est la sphère qui parmi tous les solides d'une surface donnée a le volume le plus grand.

 

Conclusion

Pour conclure, nous avons vu qu'une bulle de savon n'était que de l'air enfermé par un film de savon. Nous avons aussi vu que la formation de bulle requiert le dépassement de la CMC de molécules tensioactives. Enfin, nous venons de voir que la forme sphérique de la bulle est liée à une minimisation de l'énergie déployée lors de la formation, et donc à une recherche d'une forme contenant le volume le plus grand pour une surface donnée parmi tous les solides.